Inhaltsverzeichnis

Einleitung xi Über diese Dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii Zeittafel: Die Entdeckung von Fundamentalsystemen binärer Formen … xx Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii Benutzte Rechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii

1 Einführung 1 1.1 Von der Geometrie ausgehend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Quadratische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Quadratische Polynome in einer Variablen . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Homogene Polynome und projektive Transformationen …. 4 1.2.3 Etwas Projektive Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Die Geometrie der quadratischen Formen . . . . . . . . . . . 7

1.3 Die Kubik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Invariante Bildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Die Kovarianten der Kubik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Klassifikation der Kubiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4 Das Fundamentalsystem der Kubik . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5 Fragestellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.6 Einschub: rationale Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Eigenschaften von Kovarianten 15

2.1 Binäre Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Algebraische Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Zur Charakterisierung von Kovarianten und Invarianten . . . . . . . 21 2.3 Beweis der Hauptsätze zur Charakterisierung von Invarianten …. 24

2.3.1 Spezielle Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Notwendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3 Hinreichende Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Die Hauptsätze zur Charakterisierung von Kovarianten . . . . . . . . 32 2.5 Semiinvarianten und Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.1 Semiinvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2 Jede Semiinvariante ist Leitglied einer Kovariante . . . . . . . 38 2.5.3 Das Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6 Beispiele für Invarianten und Kovarianten und deren Anwendungen . 47 2.6.1 Die Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6.2 Die Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.3 Die Hesseform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.4 Über die Darstellbarkeit einer binären Form als vollständige

Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6.5 Über die Darstellbarkeit einer binären Form als Summe von

Potenzen von Linearfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Über die Berechnung von Kovarianten 55

3.1 Mit ”brachialer Gewalt“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.1 Berechnung linear unabhängiger Invarianten . . . . . . . . . . 56 3.1.2 Beispiel: Die Invarianten der Quartik bis Ordnung vier …. 57 3.1.3 Die Matrix des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . 59 3.1.4 Die Verwendung von Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Symbolische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.2 Primitiver Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.3 Faltung und Überschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Überschiebungen von konkreten Polynomen . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.1 Eigenschaften der Überschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.2 Beispiel: Die Kovarianten der Quartik bis Ordnung vier … 73 3.3.3 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.4 Die Kovarianten der Ordnung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.5 Die Kovarianten der Ordnung 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.6 Unstimmigkeiten in der Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.7 Gordans Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.8 Beispiel: Das Fundamentalsystem der Quadratik . . . . . . . 80 3.3.9 Beispiel: Das Fundamentalsystem der Kubik . . . . . . . . . . 81 3.3.10 Beispiel: Das Fundamentalsystem der Quintik bis Ordnung 4 82 3.3.11 Bemerkungen zu Gordans Algorithmus . . . . . . . . . . . . 85

3.4 Obere Schranken für Grad und Ordnung eines Fundamentalsystems 87 3.4.1 Die Schranken von Camille Jordan . . . . . . . . . . . . . 87 3.4.2 Die Schranken von Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.4.3 Die Schranken von Grace & Young . . . . . . . . . . . . . 89 3.4.4 Über die Anzahl der irreduziblen Invarianten . . . . . . . . . 91

3.5 Syzygien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.5.1 Einführende Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.5.2 Syzygienberechnung mit Computeralgebrasystemen . . . . . . 95 3.5.3 Syzygien zwischen Überschiebungen . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Erzeugende Funktionen 101

4.1 Der Cayley-Sylvestersche Fundamentalsatz . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.1.1 Das Hermitesche Reziprozitätsgesetz . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2 Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.2.1 Diophantische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2.2 Zerfällungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.3 Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.4 Gaußpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3 Die Erzeugende Funktion für die Anzahl linear unabhängiger Kovarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.2 Erste Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.3 Anwendung: Das Fundamentalsystem der Linearform . . . . . 116 4.3.4 Anwendung: Das Fundamentalsystem der Quadratik . . . . . 116 4.3.5 Anwendung: Das Fundamentalsystem der Kubik . . . . . . . 117

4.3.6 Anwendung: Das Fundamentalsystem der Quartik . . . . . . 121 4.4 Eine Erzeugende Funktion für Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.4.1 Eine Erzeugende Funktion für die Invarianten der Quintik . . 123 4.4.2 Die Invarianten der Quintik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.5 Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.2 Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5.3 Kovarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5 Siebung 131

5.1 Naive Siebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.1.1 Beispiel für die Berechnung eines Fundamentalsystems durch

naive Siebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.1.2 Erste Analyse am Beispiel der Quintik . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Die reduzierte Erzeugende Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3 Die repräsentierende Erzeugende Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4 Siebung der repräsentierenden Erzeugenden Funktion . . . . . . . . . 142

5.4.1 Ergebnisse der Siebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.4.2 Tests für die Korrektheit der Berechnungen . . . . . . . . . . 148

5.5 Sylvesters Fundamentalpostulat im Spiegel der Geschichte …. 150 5.6 Nachweis der Existenz gewisser Syzygien . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.6.1 Binäre Formen ungeraden Grades . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.6.2 Binäre Formen geraden Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.7 Existenz einer speziellen Grundform für binäre Formen ungeraden Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.7.1 Formalisierung des Siebungsprozesses . . . . . . . . . . . . . 154 5.7.2 Eine Abschätzung für Ξ_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.7.3 Eine Abschätzung für Δ_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.8 Existenz einer speziellen Grundform für binäre Formen geraden Grades163 5.8.1 Formalisierung des Siebungsprozesses . . . . . . . . . . . . . 163 5.8.2 Eine Abschätzung für Ξ_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.8.3 Eine Abschätzung für Δ_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6 Praxis der Berechnung 171

6.1 Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.1.1 Über die minimale Anzahl der Monome einer Kovariante … 171 6.1.2 Über Abbruchkriterien – Klassische Ansätze . . . . . . . . . . 172 6.1.3 Über Abbruchkriterien – Moderner Ansatz . . . . . . . . . . 175 6.1.4 Warum ein Orakel nützlich ist . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.1.5 Praktische Durchführung einer Überschiebung . . . . . . . . . 179

6.2 jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.2.1 Kurzübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.2.3 Analyse und Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.3 franklin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3.1 Kurzübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3.3 Programmablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3.4 Analyse und Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4 hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.4.1 Kurzübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.4.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.4.3 Programmablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.4.4 Analyse und Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.5 siebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.5.1 Kurzübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.5.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.5.3 Programmablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.5.4 Analyse und Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.6 gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.6.1 Kurzübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.6.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.6.3 Programmablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.6.4 Analyse und Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.7 invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.7.1 Kurzübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.7.2 Fähigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.7.3 Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.7.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.7.5 Programmablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.7.6 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.7.7 Erzielte Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.8 kovariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.8.1 Kurzübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.8.2 Hilfsprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.8.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.8.4 Programmablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.8.5 Vorbereitungen: Das Orakel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.8.6 Berechnung einer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.8.7 Berechnung eines Ordgrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.8.8 Programmende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.8.9 Analyse und Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

A Fundamentalsysteme 217

A.1 Elementare Fundamentalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 A.1.1 Zweiform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 A.1.2 Dreiform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 A.1.3 Vierform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

A.2 Weitere klassische Fundamentalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 219 A.2.1 Fünfform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 A.2.2 Sechsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 A.2.3 Achtform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

A.3 Die Siebenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 A.4 Hohe Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

A.4.1 Neunform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 A.4.2 Zehnform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 A.4.3 Elfform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 A.4.4 Zwölfform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 A.4.5 Dreizehnform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 A.4.6 Siebzehnform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 B Erzeugende Funktionen 235

B.1 Kubik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 B.2 Quartik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 B.3 Quintik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 B.4 Sextik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 B.5 Septik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 B.6 Oktavik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Literaturverzeichnis 242

Formelverzeichnis 251

Personenverzeichnis 252

Stichwortverzeichnis 254