Kapitel 1

Erzeugende Funktionen

Wie bei Sylvester sind aus Platzgründen die Minuszeichen unter die Ziffern gesetzt.

1.1 Kubik

reduzierte Gestalt für Invarianten: \frac{1}{(1−a^{4})} reduzierte Gestalt für Kovarianten: \frac{1−ax+a^{2}x^{2}}{(1−a^{4})(1−ax)(1−ax^{3})} repräsentierende Gestalt für Kovarianten: \frac{1+a^{3}x^{3}}{(1−a^{4})(1−a^{2}x^{2})(1−ax^{3})}

1.2 Quartik

reduzierte Gestalt für Invarianten: \frac{1}{(1−a^{2})(1−a^{3})} reduzierte Gestalt für Kovarianten: \frac{1−ax^{2}+a^{2}x^{4}}{(1−a^{2})(1−a^{3})(1−ax^{2})(1−ax^{4})} repräsentierende Gestalt für Kovarianten: \frac{1+a^{3}x^{6}}{(1−a^{2})(1−a^{3})(1−a^{2}x^{4})(1−ax^{4})}

1.3 Quintik

reduzierte Gestalt für Invarianten: \frac{1−a^{6}+a^{12}}{(1−a^{4})(1−a^{6})(1−a^{8})} reduzierte Gestalt für Kovarianten: Der Nenner ist: (1 − a^{4})(1 − a^{6})(1 − a^{8})(1 − ax)(1 − ax^{3})(1 − ax^{5})

Der Zähler ist: \begin{aligned}& x^{0} & x^{1} & x^{2} & x^{3} & x^{4} & x^{5} & x^{6} & x^{7} \\ a^{0} & 1 \\ a^{1} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{2} & & & 1 & & 1 & & 1 \\ a^{3} & & & & & & & & \underline{1} \\ a^{4} & & & & & 1 \\ a^{5} & & 1 & & 1 & & \underline{1} \\ a^{6} & \underline{1} & & & & \underline{1} \\ a^{7} & & 2 & & 1 & & 1 \\ a^{8} & & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{2} \\ a^{9} & & & & 1 & & & & 1 \\ a^{10} & & & 1 & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{11} & & & & \underline{1} \\ a^{12} & 1 \\ a^{13} & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{14} & & & & & 1 & & 1 \\ a^{15} & & & & & & & & \underline{1} \end{aligned}

\underline{1.4 Sextik 3}

Repräsentierende Gestalt für Kovarianten: Der Nenner ist: (1 − a^{4})(1 − a^{8})(1 − a^{12})(1 − ax^{5})(1 − a^{2}x^{2})(1 − a^{2}x^{6})

Der Zähler ist: \begin{aligned}& x^{0} & x^{1} & x^{2} & x^{3} & x^{4} & x^{5} & x^{6} & x^{7} & x^{8} & x^{9} & x^{10} & x^{11} \\ a^{0} & 1 \\ a^{3} & & & & 1 & & 1 & & & & 1 \\ a^{4} & & & & & 1 & & 1 \\ a^{5} & & 1 & & 1 & & & & 1 & & & & \underline{1} \\ a^{6} & & & 1 & & 1 \\ a^{7} & & 1 & & & & 1 & & & & \underline{1} \\ a^{8} & & & 1 & & 1 \\ a^{9} & & & & 1 & & 1 & & \underline{1} \\ a^{10} & & & 1 & & 1 & & & & & & \underline{1} \\ a^{11} & & 1 & & 1 & & & & & & \underline{1} \\ a^{12} & & & 1 & & & & & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{13} & & 1 & & & & & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{14} & & & & & 1 & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{15} & & & & & & & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{16} & & & 1 & & & & \underline{1} & & & & \underline{1} \\ a^{17} & & & & & & & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{18} & 1 & & & & \underline{1} & & & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{19} & & & & & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{20} & & & \underline{1} & & & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{23} & & & & & & & & & & & & \underline{1} \end{aligned}

1.4 Sextik

reduzierte Gestalt für Invarianten: \frac{1−a^{2}−a^{3}+a^{6}+a^{7}−a^{9}}{(1−a^{2})(1−a^{2})(1−a^{3})(1−a^{4})(1−a^{5})} reduzierte Gestalt für Kovarianten: Der Nenner ist: (1 − a^{2})(1 − a^{2})(1 − a^{3})(1 − a^{4})(1 − a^{5})(1 − ax^{2})(1 − ax^{4})(1 − ax^{6})

Der Zähler ist: \begin{aligned}& x^{0} & x^{2} & x^{4} & x^{6} & x^{8} & x^{10} \\ a^{0} & 1 \\ a^{1} & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{2} & \underline{1} & & 1 & 1 & 1 \\ a^{3} & \underline{1} & 2 & 1 & & & \underline{1} \\ a^{4} & & 1 & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{5} & & & & \underline{1} & \underline{1} & 1 \\ a^{6} & 1 & \underline{1} & & & \underline{1} & 1 \\ a^{7} & 1 & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{8} & & \underline{1} & \underline{1} & & 1 \\ a^{9} & \underline{1} & & & 1 & 2 & \underline{1} \\ a^{10} & & 1 & 1 & 1 & & \underline{1} \\ a^{11} & & & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{12} & & & & & & 1 \end{aligned}

repräsentierende Gestalt für Kovarianten: Der Nenner ist: (1 − a^{2})(1 − a^{6})(1 − a^{4})(1 − a^{10})(1 − a^{2}x^{4})(1 − a^{2}x^{8})(1 − ax^{6})

Der Zähler ist: \begin{aligned}& x^{0} & x^{2} & x^{4} & x^{6} & x^{8} & x^{10} & x^{12} & x^{14} & x^{16} \\ a^{0} & 1 \\ a^{3} & & 1 & & 1 & 1 & & 1 \\ a^{4} & & & 1 & 1 & & 1 \\ a^{5} & & 1 & 1 & & 1 & & & & \underline{1} \\ a^{6} & & & 1 & 2 \\ a^{7} & & 1 & 1 & & 1 & & \underline{1} \\ a^{8} & & 1 & 1 & 1 & & & & \underline{1} \\ a^{9} & & & 1 & 1 & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{10} & & 1 & 1 & & & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{11} & & & 1 & 1 & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{12} & & 1 & & & & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{13} & & & 1 & & \underline{1} & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{14} & & & & & & \underline{2} & \underline{1} \\ a^{15} & 1 & & & & \underline{1} & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{16} & & & & \underline{1} & & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{17} & & & \underline{1} & & \underline{1} & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{20} & & & & & & & & & \underline{1} \end{aligned}

\underline{1.5 Septik 5}

1.5 Septik

reduzierte Gestalt für Invarianten: Der Nenner ist: (1 − a^{4})(1 − a^{6})(1 − a^{8})(1 − a^{10})(1 − a^{12}) Der Zähler ist: 1−a^{6}+2a^{8}−a^{10}+5a^{12}+2a^{14}+6a^{16}+2a^{18}+5a^{20}−a^{22}+2a^{24}−a^{26}+a^{32}

reduzierte Gestalt für Kovarianten: Der Nenner ist: (1−a^{4})(1−a^{6})(1−a^{8})(1−a^{10})(1−a^{12})(1−ax)(1−ax^{3})(1−ax^{5})(1− ax^{7})

Der Zähler ist: \begin{aligned}& x^{0} & x^{1} & x^{2} & x^{3} & x^{4} & x^{5} & x^{6} & x^{7} & x^{8} & x^{9} & x^{10} & x^{11} & x^{12} & x^{13} & x^{14} \\ a^{0} & 1 \\ a^{1} & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{2} & & & 1 & & 1 & & 2 & & 1 & & 1 \\ a^{3} & & & & & & & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{4} & & & & & 2 & & & & 1 & & & & & & 1 \\ a^{5} & & 1 & & 2 & & & & & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{6} & \underline{1} & & 2 & & \underline{1} & & & & \underline{1} & & \underline{1} & & 1 \\ a^{7} & & 4 & & 1 & & 3 & & & & \underline{1} & & 1 \\ a^{8} & 2 & & \underline{1} & & & & \underline{3} & & \underline{3} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{9} & & 1 & & 3 & & 1 & & \underline{1} & & 2 & & & & 2 \\ a^{10} & \underline{1} & & 4 & & & & \underline{1} & & \underline{2} & & \underline{2} & & & & \underline{1} \\ a^{11} & & 5 & & 3 & & 2 & & \underline{1} & & \underline{2} & & \underline{1} & & 1 \\ a^{12} & 5 & & 1 & & & & \underline{4} & & \underline{6} & & \underline{4} & & \underline{1} & & 2 \\ a^{13} & & 1 & & & & \underline{4} & & \underline{4} & & \underline{1} & & 1 & & 4 \\ a^{14} & 2 & & 5 & & 1 & & 1 & & \underline{2} & & & & 3 & & \underline{1} \\ a^{15} & & 3 & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{7} & & \underline{5} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{16} & 6 & & 3 & & 3 & & \underline{4} & & \underline{3} & & & & \underline{1} & & 5 \\ a^{17} & & \underline{1} & & \underline{2} & & \underline{9} & & \underline{8} & & \underline{4} & & \underline{3} & & 4 \\ a^{18} & 2 & & 6 & & 1 & & 2 & & 2 & & 1 & & 6 & & 2 \\ a^{19} & & 4 & & \underline{3} & & \underline{4} & & \underline{8} & & \underline{9} & & \underline{2} & & \underline{1} \\ a^{20} & 5 & & \underline{1} & & & & \underline{3} & & \underline{4} & & 3 & & 3 & & 6 \\ a^{21} & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{5} & & \underline{7} & & \underline{1} & & \underline{1} & & 3 \\ a^{22} & \underline{1} & & 3 & & & & \underline{2} & & 1 & & 1 & & 5 & & 2 \\ a^{23} & & 4 & & 1 & & \underline{1} & & \underline{4} & & \underline{4} & & & & 1 \\ a^{24} & 2 & & \underline{1} & & \underline{4} & & \underline{6} & & \underline{4} & & & & 1 & & 5 \\ a^{25} & & 1 & & \underline{1} & & \underline{2} & & \underline{1} & & 2 & & 3 & & 5 \\ a^{26} & \underline{1} & & & & \underline{2} & & \underline{2} & & \underline{1} & & & & 4 & & \underline{1} \\ a^{27} & & 2 & & & & 2 & & \underline{1} & & 1 & & 3 & & 1 \\ a^{28} & & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{3} & & \underline{3} & & & & \underline{1} & & 2 \\ a^{29} & & & & 1 & & \underline{1} & & & & 3 & & 1 & & 4 \\ a^{30} & & & 1 & & \underline{1} & & \underline{1} & & & & \underline{1} & & 2 & & \underline{1} \\ a^{31} & & & & \underline{1} & & \underline{1} & & & & & & 2 & & 1 \\ a^{32} & 1 & & & & & & 1 & & & & 2 \\ a^{33} & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{34} & & & & & 1 & & 1 & & 2 & & 1 & & 1 \\ a^{35} & & & & & & & & & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{36} & & & & & & & & & & & & & & & 1 \end{aligned}

repräsentierende Gestalt für Kovarianten: Der Nenner ist: (1 − a^{4})(1 − a^{12})(1 − a^{8})(1 − a^{20})(1 − a^{12})(1 − a^{2}x^{2})(1 − a^{2}x^{6})(1 −

6  Erzeugende Funktionen

a^{2}x^{10})(1 − ax^{7}) Der Zähler ist:

x^{0} x^{1} x^{2} x^{3} x^{4} x^{5} x^{6} x^{7} x^{8} x^{9} x^{10} x^{11} x^{12} x^{13} x^{14} x^{15} x^{16} x^{17} x^{18} x^{19} x^{20} x^{21} x^{22} x^{23}
a^{0} 1
a^{3}  1 1 1 1  1  1
a^{4}  2 1 2 1  1
a^{5} 1 2 2 2 2  \underline{1}  \underline{1}
a^{6}  3 2 3 3  2  \underline{1}  \underline{1}
a^{7} 3 2 4 4  1  \underline{2}  \underline{1}  1
a^{8} 2 3 4 6 1 3  \underline{1}  \underline{2}  \underline{1}
a^{9} 3 5 7 1 4  \underline{2}  \underline{1}  \underline{2}  1
a^{10}  5 8 6 4 1  \underline{4}  \underline{3}  \underline{1}
a^{11} 5 8 8 8 4  \underline{4}  \underline{1}  \underline{5}  \underline{1}
a^{12} 4 9 9 12 4 \underline{1}  \underline{3}  \underline{5}  \underline{6}  \underline{1}  1
a^{13} 9 9 12 6 \underline{1}  \underline{3}  \underline{8}  \underline{9}  \underline{3}  \underline{1}  1
a^{14} 4 9 13 11 \underline{1} \underline{3}  \underline{9}  \underline{10}  \underline{7}  \underline{2}  3
a^{15} 9 12 16 3 2  \underline{10}  \underline{11}  \underline{8}  \underline{3}  3  2
a^{16} 5 14 15 12 1 \underline{5}  \underline{16}  \underline{9}  \underline{9}  \underline{1}  3  3
a^{17} 12 15 16 6 \underline{3}  \underline{17}  \underline{13}  \underline{15}  \underline{5}  2  3
a^{18} 9 14 15 14 \underline{3} \underline{13}  \underline{20}  \underline{15}  \underline{15}  2  2  5
a^{19} 15 16 18  \underline{8}  \underline{18}  \underline{20}  \underline{19}  \underline{3}  3  5  4
a^{20} 6 14 18 12 \underline{10} \underline{16}  \underline{25}  \underline{19}  \underline{12}  2  5  9
a^{21} 14 17 19 \underline{1} \underline{8}  \underline{27}  \underline{25}  \underline{16}  \underline{2}  4  8  4
a^{22} 9 17 19 11 \underline{8} \underline{18}  \underline{31}  \underline{17}  \underline{15}  6  9  9
a^{23} 17 18 17 \underline{4} \underline{14} \underline{32}  \underline{25}  \underline{22}  \underline{4}  9  9  5
a^{24} 8 17 15 9 \underline{14} \underline{28}  \underline{32}  \underline{23}  \underline{16}  9  9  12
a^{25} 17 15 17 \underline{8} \underline{19} \underline{31}  \underline{28}  \underline{22}  4  10  13  9
a^{26} 9 15 16 8 \underline{20} \underline{23}  \underline{36}  \underline{20}  \underline{9}  10  14  15
a^{27} 14 15 15 \underline{13} \underline{16} \underline{37}  \underline{29}  \underline{17}  3  14  14  6
a^{28} 6 14 14 3 \underline{17} \underline{29}  \underline{37}  \underline{16}  \underline{13}  15  15  14
a^{29} 15 14 10 \underline{9} \underline{20} \underline{36}  \underline{23}  \underline{20}  8  16  15  9
a^{30} 9 13 10 4 \underline{22} \underline{28}  \underline{31}  \underline{19}  \underline{8}  17  15  17
a^{31} 12 9 9 \underline{16} \underline{23} \underline{32}  \underline{28}  \underline{14}  9  15  17  8
a^{32} 5 9 9 \underline{4} \underline{22} \underline{25}  \underline{32}  \underline{14}  \underline{4}  17  18  17
a^{33} 9 9 6 \underline{15} \underline{17} \underline{31}  \underline{18}  \underline{8}  11  19  17  9
a^{34} 4 8 4 \underline{2} \underline{16} \underline{25}  \underline{27}  \underline{8}  \underline{1}  19  17  14
a^{35} 9 5 2 \underline{12} \underline{19} \underline{25}  \underline{16}  \underline{10}  12  18  14  6
a^{36} 4 5 3 \underline{3} \underline{19} \underline{20}  \underline{18}  \underline{8}  18  16  15
a^{37} 5 2 2 \underline{15} \underline{15} \underline{20}  \underline{13}  \underline{3}  14  15  14  9
a^{38}  3 2 \underline{5} \underline{15} \underline{13}  \underline{17}  \underline{3}  6  16  15  12
a^{39} 3 3 \underline{1} \underline{9} \underline{9}  \underline{16}  \underline{5}  1  12  15  14  5
a^{40} 2 3  \underline{3} \underline{8} \underline{11}  \underline{10}  2  3  16  12  9
a^{41} 3  \underline{2} \underline{7} \underline{10}  \underline{9}  \underline{3}  \underline{1}  11  13  9  4
a^{42}  1 \underline{1} \underline{3} \underline{9} \underline{8}  \underline{3}  \underline{1}  6  12  9  9
a^{43} 1 \underline{1}  \underline{6} \underline{5}  \underline{3}  \underline{1}  4  12  9  9  4
a^{44}  \underline{1} \underline{5} \underline{1}  \underline{4}  4  8  8  8  5
a^{45}  \underline{1} \underline{3}  \underline{4}  1  4  6  8  5
a^{46}  1  \underline{2} \underline{1} \underline{2}  4  1  7  5  3
a^{47}  \underline{1}  \underline{2}  \underline{1}  3  1  6  4  3  2
a^{48} 1  \underline{1}  \underline{2}  1  4  4  2  3
a^{49}  \underline{1} \underline{1}  2  3  3  2  3
a^{50}  \underline{1}  \underline{1}  2  2  2  2  1
a^{51}  1  1  2  1  2
a^{52}  1  1  1  1  1  1
a^{55}  1

\underline{1.6 Oktavik 7}

1.6 Oktavik

reduzierte Gestalt für Invarianten: Der Nenner ist: (1 − a^{2})(1 − a^{3})(1 − a^{4})(1 − a^{5})(1 − a^{6})(1 − a^{7}) Der Zähler ist: 1 + a^{8} + a^{9} + a^{10} + a^{18}

reduzierte Gestalt für Kovarianten: Der Nenner ist: (1 − a^{2})(1 − a^{3})(1 − a^{4})(1 − a^{5})(1 − a^{6})(1 − a^{7})(1 − ax^{2})(1 − ax^{4})(1 − ax^{6})(1 − ax^{8})

Der Zähler ist: \begin{aligned}& x^{0} & x^{2} & x^{4} & x^{6} & x^{8} & x^{10} & x^{12} & x^{14} & x^{16} & x^{18} \\ a^{0} & 1 \\ a^{1} & & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{2} & & & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ a^{3} & & & 1 & & & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{4} & & & 2 & & & & & & & 1 \\ a^{5} & & 1 & 2 & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{6} & & 1 & 1 & & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & 1 \\ a^{7} & & 2 & 1 & 1 & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & 1 \\ a^{8} & 1 & 2 & & & \underline{2} & \underline{2} & \underline{2} & 1 \\ a^{9} & 1 & 2 & \underline{2} & & \underline{2} & \underline{2} & \underline{1} & 1 & 1 \\ a^{10} & 1 & 1 & \underline{2} & & \underline{2} & \underline{1} & & & 1 \\ a^{11} & & 1 & \underline{1} & & \underline{1} & \underline{1} & & \underline{1} & 1 \\ a^{12} & & 1 & & & \underline{1} & \underline{2} & & \underline{2} & 1 & 1 \\ a^{13} & & 1 & 1 & \underline{1} & \underline{2} & \underline{2} & & \underline{2} & 2 & 1 \\ a^{14} & & & 1 & \underline{2} & \underline{2} & \underline{2} & & & 2 & 1 \\ a^{15} & & & 1 & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & 1 & 1 & 2 \\ a^{16} & & & 1 & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & & 1 & 1 \\ a^{17} & & & & \underline{1} & & \underline{1} & & 2 & 1 \\ a^{18} & 1 & & & & & & & 2 \\ a^{19} & & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & & & 1 \\ a^{20} & & & & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ a^{21} & & & & & & & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} \\ a^{22} & & & & & & & & & & 1 \end{aligned}

repräsentierende Gestalt für Kovarianten: Der Nenner ist: (1−a^{2})(1−a^{3})(1−a^{4})(1−a^{5})(1−a^{6})(1−a^{7})(1−a^{2}x^{4})(1−a^{2}x^{8})(1− a^{2}x^{12})(1 − ax^{8})

Der Zähler ist: \begin{aligned}& x^{0} & x^{2} & x^{4} & x^{6} & x^{8} & x^{10} & x^{12} & x^{14} & x^{16} & x^{18} & x^{20} & x^{22} & x^{24} & x^{26} & x^{28} & x^{30} \\ a^{0} & 1 \\ a^{3} & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 \\ a^{4} & & & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & & 1 \\ a^{5} & & 1 & 2 & 2 & 1 & 3 & & 1 & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{6} & & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & & 1 & & \underline{1} & & \underline{1} \\ a^{7} & & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 & & \underline{1} & & \underline{2} & & \underline{1} & & & & 1 \\ a^{8} & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 1 & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{3} & \underline{1} \\ a^{9} & 1 & 3 & 1 & 3 & 2 & \underline{1} & \underline{1} & \underline{3} & \underline{2} & \underline{4} & \underline{1} & \underline{1} & & 1 \\ a^{10} & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & \underline{2} & \underline{2} & \underline{5} & \underline{4} & \underline{4} & \underline{2} & \underline{1} & & 1 \\ a^{11} & & 2 & 1 & 1 & 1 & \underline{4} & \underline{2} & \underline{6} & \underline{4} & \underline{4} & \underline{3} & & & 2 \\ a^{12} & & 1 & 1 & 1 & 1 & \underline{4} & \underline{2} & \underline{6} & \underline{6} & \underline{2} & \underline{3} & & & 2 & 1 \\ a^{13} & & 1 & 2 & & & \underline{3} & \underline{2} & \underline{6} & \underline{6} & \underline{2} & \underline{4} & 1 & 1 & 1 & 1 \\ a^{14} & & & 2 & & & \underline{3} & \underline{4} & \underline{4} & \underline{6} & \underline{2} & \underline{4} & 1 & 1 & 1 & 2 \\ a^{15} & & & 1 & & \underline{1} & \underline{2} & \underline{4} & \underline{4} & \underline{5} & \underline{2} & \underline{2} & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ a^{16} & & & 1 & & \underline{1} & \underline{1} & \underline{4} & \underline{2} & \underline{3} & \underline{1} & \underline{1} & 2 & 3 & 1 & 3 & 1 \\ a^{17} & & & & & & \underline{1} & \underline{3} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ a^{18} & 1 & & & & \underline{1} & & \underline{2} & & \underline{1} & & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 \\ a^{19} & & & & & \underline{1} & & \underline{1} & & 1 & & 2 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ a^{20} & & & \underline{1} & & \underline{1} & & \underline{1} & & 1 & & 3 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ a^{21} & & & & & & & 1 & & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ a^{22} & & & & & & & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ a^{25} & & & & & & & & & & & & & & & & 1 \end{aligned}